We know,
$$
\begin{aligned}
&2 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}=\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B}) \\
&\therefore \cos m x \cos n \mathrm{x}=\frac{\cos (m-n) x+\cos (m+n) x}{2}
\end{aligned}
$$
\(\therefore\) The above equation becomes
$$
\begin{aligned}
&\Rightarrow \int \frac{1}{2}(\cos (\mathrm{m}-\mathrm{n}) \mathrm{x}+\cos (\mathrm{m}+\mathrm{n}) \mathrm{x}) \mathrm{dx} \\
&\text { We know } \int \cos \mathrm{ax} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \sin \mathrm{ax}+\mathrm{c} \\
&\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{~m}-\mathrm{n}} \sin (\mathrm{m}-\mathrm{n}) \mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{~m}+\mathrm{n}} \sin (\mathrm{m}+\mathrm{n}) \mathrm{x}\right) \\
&\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{(\mathrm{m}+\mathrm{n}) \sin (\mathrm{m}-\mathrm{n}) \mathrm{x}+(\mathrm{m}-\mathrm{n}) \sin (\mathrm{m}+\mathrm{n}) \mathrm{x}}{\mathrm{m}^{2}-\mathrm{n}^{2}}\right)+\mathrm{c}
\end{aligned}
$$
